Теория иррациональная: Ирригационная теория государства — суть, особенности возникновения и история :: SYL.ru

Теория иррациональная: Ирригационная теория государства — суть, особенности возникновения и история :: SYL.ru

Содержание

Ирригационная теория государства - суть, особенности возникновения и история :: SYL.ru

Возникновение первых на Земле государств - один из самых сложных вопросов в области истории, который никак не хочет открываться перед историками. Существует несчетное множество теорий, ведающих нам о том, как могла бы быть построена та или иная цивилизация, но наверняка об этом не знает никто. На повестке дня мы рассмотрим ирригационную теорию, узнаем про ее сильные и слабые стороны, выясним, насколько она объективна.

Откуда могло взяться государство?

Все живые существа, обитающие на Земле, имеют так называемую социальную жилку. Дикие животные, как и птицы или насекомые, объединяются в стаи, а вот люди, на ранних этапах своего существования, образовывали племена или общины.

Жизнь была примитивной, у человечества отсутствовали удобства, не было ни законов, ни порядков. В силу своего разума в один момент человек как вид, понял, что нужно что-то менять. Таким образом маленькие племена объединились, образовав государства. Последние, в свою очередь, возымели такие свойства, как законодательство, политический устав, механизм контроля над населением и власть. Но что именно сподвигло людей, таких разных и незнакомых, объединиться и выбрать для себя одного или нескольких лидеров, которые бы ими управляли? Или же эти лидеры самостоятельно установили контроль над остальными, поработив их?

Это и есть те самые вопросы, на которые историки не находят ответов. Нам остается довольствоваться лишь версиями, возможными вариантами развития событий. Одной из них является ирригационная теория происхождения государства, которая появилась на свет совсем недавно - в 50-е годы ХХ столетия.

История возникновения версии

Известный германо-американский социолог и историк Карл Август Виттфогель в 20-е годы заинтересовался взаимосвязью природы и общественного развития. На тот момент ученый был членом Коммунистической партии ГДР, поэтому на основании трудов Карла Маркса он развивал версию азиатского способа производства.

Суть ее заключалась в том, что экономическая и общественная формация в Древнем Китае, а также в ряде других восточных стран, строилась за счет ирригационного земледелия.

Так случилось, что после Второй мировой войны Виттфогель стал убежденным антикоммунистом, но на основании всех тех трудов, которые он изучил и написал ранее, он смог вывести четкую и понятную ирригационную теорию, которая в полной мере раскрыла историю зарождения государства.

Формулировка

Суть ирригационной теории государства заключается в том, что все люди нуждались в воде, поэтому возникла необходимость в сооружении гидравлических систем, которые могли бы обеспечить все население равным количеством этой жидкости.

Дело в том, что вода распределяется по поверхности планеты неравномерно. В прибрежных регионах люди страдают от наводнений, в отдаленных от водоемов - от засухи. Таким образом "сильные мира сего" в свое время построили ирригационные аппараты, которые дали возможность равномерно распределить как дождевую воду, так и речную, между всеми регионами, заселенными людьми. Вода направлялась не только на бытовые нужды, но и на хозяйственные. Она была необходима для полива полей и садов.

К чему это привело

Все тот же германский историк Виттфогель продолжил развивать собственную ирригационную теорию и описал дальнейшие события, которые вытекали из уже существующих "машин" по распределению воды. Для обеспечения работы таких сооружений на то время требовалась колоссальная рабочая сила, а также жесткий контроль.

В роли первого фактора выступило простое население древних государств - люди, которые пошли на эту работу, дабы обеспечить свою семью, и рабы. В роли же второго фактора выступила сама власть, которая ужесточила контроль над населением за счет обеспечения его таким ресурсом как вода.

Все этом стало причиной развития деспотизма, тоталитаризма и централизованного управления. Именно так, по мнению ученого, сформировалось государство как вид, в котором установилась четкая и незыблемая власть, а люди, живущие постоянно в нищете, могли лишь уповать на своих правителей, дающих им воду.

После того, как мы разобрались с сутью данной версии, переходим к следующему вопросу. Плюсы и минусы ирригационной теории, ее сильные и слабые стороны, объективность взглядов и суждений Виттфогеля.

Положительные аспекты

Плюсы ирригационной теории заключаются в том, что она действительно работает для целого ряда древних государств. Как доказывает нам археология и история, такие цивилизации как Египет, Шумер, Китай и ряд других - были основаны вдоль долин больших рек. Из этих водоемов люди и черпали воду, сначала ведрами, а после уже специальными "машинами", которые доставляли данный природный ресурс в самые удаленные от берегов районы.

Также ирригационная теория наглядно показывает нам, что непосредственно постройка водоснабжения и дальнейший контроль работы этой системы стали причиной зарождения тоталитаризма и централизованной власти, которая имеет место в политике до сих пор. С полной уверенностью можно сказать, что версия точна, но только для тех цивилизаций, которые имели возможность разместиться вблизи крупных рек.

Отрицательные стороны

Данная версия, увы, не дает ответа на вопрос о том, как же возникли горные государства, степные, морские. Ведь такие цивилизации как инки или ацтеки, а также жители Японии, не имели возможности расселиться вдоль рек. Одни довольствовались горными пейзажами, другие - морскими далями.

Стоит сказать, что теория не полностью объективна, так как она описывает лишь происхождение конкретных, а именно - восточных стран, но остальные остаются за бортом.

Но не нужно судить Виттфогеля строго, так как он был ориенталистом. Изначально изучал историю развития Китая, позднее перешел на Месопотамию и Египет. Очевидно, что свою версию возникновения государства он выдвинул опираясь на знания о восточном регионе, и, вероятнее всего, исключительно для того самого восточного региона.

Заключение

Вода - основа жизни. Именно этот тезис стал причиной возникновения ирригационной теории создания и развития цивилизации. Но такой, казалось бы, доступный и естественный ресурс можно также превратить в объект желания, далекий и труднонаходимый. Именно это и сделали жрецы прошлого, поработив все население, и заставив каждого работать за воду.

Иррациональное число - Irrational number

Действительное число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел

Число √ 2 иррационально.

В математике все иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными числами . То есть иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел . Когда отношение длин двух сегментов линии является иррациональным числом, сегменты линии также описываются как несоизмеримые , что означает, что у них нет общей «меры», то есть нет длины («меры»), нет независимо от того, насколько коротким, это можно использовать для выражения длин обоих из двух данных сегментов как целых кратных самой себе.

К иррациональным числам относятся отношение π длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e , золотое сечение φ и квадратный корень из двух . Фактически, все квадратные корни из натуральных чисел , кроме полных квадратов , иррациональны.

Как и все действительные числа, иррациональные числа могут быть выражены в позиционной системе счисления , особенно в виде десятичного числа. В случае иррациональных чисел десятичное разложение не заканчивается и не заканчивается повторяющейся последовательностью . Например, десятичное представление числа π начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представлять π и не повторяется. И наоборот, завершающее или повторяющееся десятичное раскрытие должно быть рациональным числом. Это доказуемые свойства рациональных чисел и позиционных систем счисления, которые не используются в качестве определений в математике.

Иррациональные числа также могут быть выражены в виде непрерывных дробей и многими другими способами.

Как следствие доказательства Кантора, что действительные числа несчетны, а рациональные - счетные, следует, что почти все действительные числа иррациональны.

История

Набор действительных чисел (R), который включает рациональные числа (Q), которые включают целые числа (Z), которые включают натуральные числа (N). Действительные числа также включают иррациональные числа (R \ Q).

Древняя Греция

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу (возможно, Гиппасу из Метапонта ), который, вероятно, обнаружил их, определяя стороны пентаграммы . Существовавший тогда метод Пифагора должен был утверждать, что должна быть какая-то достаточно маленькая неделимая единица, которая могла бы равномерно вписаться в одну из этих длин, а также в другую. Однако Гиппас в V веке до нашей эры смог сделать вывод, что на самом деле не существовало общей единицы измерения, и что утверждение о таком существовании на самом деле было противоречием. Он сделал это, показав , что если гипотенузу из равнобедренного треугольник действительно соизмерим с ногой, то один из этих длин измеренных в этой единице измерения должна быть четными и даже, что невозможно. Его рассуждения таковы:

  • Начните с равнобедренного прямоугольного треугольника со сторонами целых чисел a , b и c . Отношение гипотенузы к катету представлено как c : b .
  • Предположим, что a , b и c выражены в наименьших возможных значениях ( т.е. у них нет общих факторов).
  • По теореме Пифагора : c 2 = a 2 + b 2 = b 2 + b 2 = 2 b 2 . (Так как треугольник равнобедренный, a = b ).
  • Поскольку c 2 = 2 b 2 , c 2 делится на 2 и, следовательно, даже.
  • Поскольку c 2 четно, c должно быть четным.
  • Поскольку c четно, деление c на 2 дает целое число. Пусть y будет этим целым числом ( c = 2 y ).
  • Возводя обе части с = 2 Y выходы с 2 = (2 у )
    2
    , или с 2 = 4 у 2 .
  • Подставляя 4 у 2 для C 2 в первом уравнении ( с 2 = 2 б 2 ) дает нам 4 у 2 = 2 б 2 .
  • Деление на 2 дает 2 y 2 = b 2 .
  • Поскольку y - целое число, а 2 y 2 = b 2 , b 2 делится на 2 и, следовательно, даже.
  • Поскольку b 2 четно, b должно быть четным.
  • Мы только что показали, что и b, и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий множитель 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих множителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть одновременно целыми числами, и, следовательно, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел.

Греческие математики назвали это соотношение несоизмеримых величин alogos

, или невыразимым. Гиппаса, однако, не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими товарищами-пифагорейцами, «… за то, что создал во вселенной элемент, который отрицал… доктрину о том, что все явления во Вселенной можно свести к целым числам и их отношениям ». Другая легенда гласит, что Гиппас был просто изгнан за это откровение. Какими бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие представляло собой очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку оно разрушило предположение о неразрывности числа и геометрии - основу их теории.

Открытие несоизмеримых соотношений указывало на еще одну проблему, с которой столкнулись греки: отношение дискретного к непрерывному. Это было обнаружено Зеноном Элейским , который подверг сомнению концепцию, согласно которой количества дискретны и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Согласно прежним греческим концепциям, они обязательно должны быть такими, поскольку «целые числа представляют собой отдельные объекты, а соизмеримое соотношение представляет собой отношение между двумя наборами дискретных объектов», но Зенон обнаружил, что на самом деле «[количества] в целом не являются дискретными наборами единицы; вот почему появляются отношения несоизмеримых [величин] ... Другими словами, [количества] непрерывны ». Это означает, что вопреки популярной концепции времени не может быть неделимой мельчайшей единицы измерения для любой величины. Фактически, эти количественные деления обязательно должны быть бесконечными . Например, рассмотрим отрезок прямой: этот отрезок можно разделить пополам, половину - пополам, половину - пополам и так далее. Этот процесс может продолжаться бесконечно, потому что всегда остается разделить другую половину. Чем чаще сегмент делится вдвое, тем ближе единица измерения к нулю, но никогда не достигает точного нуля. Именно это и пытался доказать Зенон. Он попытался доказать это, сформулировав четыре парадокса , демонстрирующих противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно продемонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы. В представлении греков опровержение обоснованности одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому требовалось дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским , который формализовал новую теорию пропорций, в которой учитывались как соизмеримые, так и несоизмеримые величины. Центральным в его идее было различие между величиной и числом. Величина «... не была числом, а обозначала такие объекты, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли изменяться, как мы бы сказали, непрерывно. Величины были противопоставлены числам, которые прыгали от одного значения к другому, от 4 до 5. " Числа состоят из некоторой наименьшей, неделимой единицы, тогда как величины бесконечно уменьшаются. Поскольку никакие количественные значения не были присвоены величине, Евдокс смог учесть как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определив соотношение в терминах его величины и пропорции как равенство между двумя отношениями. Убрав количественные значения (числа) из уравнения, он избежал ловушки, когда ему приходилось выражать иррациональное число как число. «Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, предоставив необходимую логическую основу для несоизмеримых соотношений». Эта несоизмеримость рассматривается в «Элементах» Евклида, книга X, предложение 9.

В результате различия между числом и величиной геометрия стала единственным методом, который мог учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие числовые основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческий акцент сместился с таких числовых концепций, как алгебра, и сосредоточился почти исключительно на геометрии. Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить , почему мы до сих пор мыслим х 2 и х 3 , как х квадрат и х кубу вместо й до второй степени и х к третьей степени. Также решающее значение для работы Зенона с несоизмеримыми величинами было фундаментальное внимание к дедуктивным рассуждениям, которое явилось результатом фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторые основные концепции существующей теории расходятся с реальностью, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории. Исходя из этой необходимости, Евдокс разработал свой метод исчерпания , своего рода reductio ad absurdum, который «... установил дедуктивную организацию на основе явных аксиом ...», а также «... подкрепил ранее принятое решение полагаться на о дедуктивных рассуждениях для доказательства ». Этот метод исчерпания - первый шаг в создании исчисления.

Теодор из Кирены доказал иррациональность увеличения целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому, что алгебру, которую он использовал, нельзя было применить к квадратному корню из 17.

Только после того, как Евдокс разработал теорию пропорции, которая учитывала иррациональные, а также рациональные соотношения, была создана прочная математическая основа иррациональных чисел.

Индия

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были решены очень рано в ведический период в Индии. Ссылки на такие вычисления есть в Самхитах , Брахманах и Шульба Сутрах (800 г. до н.э. или ранее). (См. Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с 7 века до нашей эры, когда Манава (ок. 750 - 690 до н.э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, нельзя точно определить. Однако историк Карл Бенджамин Бойер пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и вряд ли будут правдой».

Также предполагается, что Арьябхата (V век нашей эры) при вычислении значения числа пи до 5 значащих цифр использовал слово асанна (приближение), чтобы обозначить, что это не только приближение, но и то, что значение несоизмеримо (или иррационально). .

Позже в своих трактатах индийские математики писали об арифметике сурдов, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней.

Математики, такие как Брахмагупта (в 628 году нашей эры) и Бхаскара I (в 629 году нашей эры), внесли свой вклад в эту область, как и другие математики, которые последовали за ней. В 12 веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и критиковал их, выявляя их ограничения.

В течение 14-16 веков Мадхава из Сангамаграмы и керальская школа астрономии и математики открыли бесконечный ряд для нескольких иррациональных чисел, таких как π, и некоторых иррациональных значений тригонометрических функций . Джйешхадева представил доказательства этой бесконечной серии в Юктибхане .

Средний возраст

В средние века , развитие алгебры на мусульманских математиков позволили иррациональные числа , которые будут рассматриваться в качестве алгебраических объектов . Математики Ближнего Востока также объединили понятия « число » и « величина » в более общее представление о действительных числах , критиковали идею соотношений Евклида , разработали теорию сложных соотношений и расширили понятие числа на отношения непрерывной величины. В своем комментарии к книге 10 элементов , то персидский математик Аль-Махани (ум. 874/884) рассмотрела и секретные квадратичные иррациональности и кубические иррациональности. Он дал определения рациональных и иррациональных величин, которые он рассматривал как иррациональные числа. Он свободно разбирался с ними, но объясняет их геометрическими терминами следующим образом:

«Это будет рациональным (величина), когда мы, например, скажем 10, 12, 3%, 6% и т. Д., Потому что его значение произносится и выражается количественно. То, что нерационально, является иррациональным, и его невозможно произнести и представляют его значение количественно. Например: корни чисел, таких как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, не являющиеся кубиками, и т. д. "

В отличие от Евклидова концепции величин как линий, Аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными величинами. Он также представил арифметический подход к концепции иррациональности, поскольку он относит следующее к иррациональным величинам:

«их суммы или различия, или результаты их прибавления к рациональной величине, или результаты вычитания такой величины из иррациональной, или рациональной величины из нее».

Египетский математик Абу Камиль Shuja ибн Аслам (с 850 -. 930) был первым , чтобы принять иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в качестве уравнения , часто в виде квадратных корней, кубических корней и четвертых корней . В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические демонстрации) иррациональных чисел, поскольку он рассматривал умножение, деление и другие арифметические функции. Иранский математик Абу Джафар аль-Хазин (900–971) дает определение рациональных и иррациональных величин, утверждая, что если определенная величина равна:

"содержится в определенной заданной величине один или несколько раз, тогда эта (данная) величина соответствует рациональному числу ... Каждый раз, когда эта (последняя) величина составляет половину, треть или четверть данной величины (единицы) или, по сравнению с (единицей), составляет три, пять или три пятых, это рациональная величина. И, в общем, каждая величина, которая соответствует этой величине ( т. е. единице), поскольку одно число к другому, является рациональным. Если, однако, величина не может быть представлена ​​как кратное, часть (1 / n ) или части ( m / n ) данной величины, это иррационально, то есть не может быть выражено кроме корней ".

Многие из этих концепций в конечном итоге были приняты европейскими математиками через некоторое время после латинских переводов XII века . Аль-Хассар , марокканский математик из Феса, специализирующийся на исламской юриспруденции наследования в XII веке, впервые упоминает использование дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем обсуждении он пишет: «… например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятого, напишите так, ». Такое же дробное представление появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке. 3 1 5 3 {\ displaystyle {\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}}}

Современный период

В 17 веке мнимые числа стали мощным инструментом в руках Абрахама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера . Завершение теории комплексных чисел в 19 ​​веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные числа , доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научных исследований теории иррациональных чисел, которые в значительной степени игнорировались со времен Евклида . В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученик Эрнст Коссак), Эдуарда Гейне ( Crelle's Journal , 74), Георга Кантора (Аннален, 5) и Ричарда Дедекинда . В 1869 году Мере взял ту же точку отсчета, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле в 1880 году, а метод Дедекинда получил дополнительную известность в более поздних работах автора (1888 год). ) и одобрение Пола Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее разреза (Шнитта) в системе всех рациональных чисел , разделяя их на две группы, обладающие определенными характеристическими свойствами. Позднее в эту тему внесли вклад Вейерштрасс, Леопольд Кронекер (Crelle, 101) и Шарль Мере .

Непрерывные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (благодаря Катальди, 1613 г.), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века получили известность благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа . Дирихле также внес свой вклад в общую теорию, как и многочисленные участники, внесшие вклад в приложения этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761), что π не может быть рациональным и что e n иррационально, если n рационально (если n  = 0). Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки подтверждают его как удовлетворительное, и в действительности для своего времени оно необычайно строгое. Адриан-Мари Лежандр (1794 г.), введя функцию Бесселя – Клиффорда , представил доказательство, показывающее, что π 2 иррационально, откуда немедленно следует, что π также иррационально. Существование трансцендентных чисел было впервые установлено Лиувиллем (1844, 1851). Позже Георг Кантор (1873) доказал их существование другим методом , который показал, что каждый интервал в вещественных числах содержит трансцендентные числа. Эрмит (1873) первым доказал е трансцендентное, и Фердинанд фон Линдеман (1882), исходя из выводов Эрмита, показал то же самое для я. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), еще дальше - Дэвидом Гильбертом (1893 г.) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу и Полу Гордану .

Примеры

Квадратные корни

Квадратный корень из 2 был первый номер доказанного иррациональный, и что статья содержит ряд доказательств. Золотое сечение является еще одним известным квадратичным иррациональным числом. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются полными квадратами , иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах .

Общие корни

Приведенное выше доказательство для квадратного корня из двух можно обобщить, используя основную теорему арифметики . Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную факторизацию на простые числа. Используя его, мы можем показать, что если рациональное число не является целым, то его целая степень не может быть целым числом, так как в младших членах в знаменателе должно быть простое число, которое не делится на числитель независимо от степени, в которую каждое число возводится в . {n}.}

Однако число 2, возведенное в любую степень положительного целого числа, должно быть четным (потому что оно делится на 2), а число 3, возведенное в любую степень положительного целого числа, должно быть нечетным (поскольку ни один из его простых делителей не будет равен 2). Ясно, что целое число не может быть одновременно четным и нечетным: приходим к противоречию. Единственное предположение, которое мы сделали, заключалось в том, что log 2  3 рационально (и поэтому выражается как частное целых чисел m / n с n  0). Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т.е. log 2  3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n с n  0.

 Аналогичным образом можно рассматривать такие случаи, как log 10 2.

Типы

Трансцендентный / алгебраический

Почти все иррациональные числа трансцендентны, и все реальные трансцендентные числа иррациональны (есть также комплексные трансцендентные числа): в статье о трансцендентных числах приводится несколько примеров. {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0 \ ;, }

где коэффициенты - целые числа и . Любой рациональный корень этого многочлена уравнения должны иметь вид г / с , где г является делителем из в 0 , и ев является делителем в п . Если действительный корень многочлена не входит в число этих конечных возможностей, это должно быть иррациональное алгебраическое число. Примерное доказательство существования таких алгебраических иррациональных чисел состоит в том, чтобы показать, что x 0  = (2 1/2  + 1) 1/3 является иррациональным корнем многочлена с целыми коэффициентами: он удовлетворяет ( x 3  - 1) 2 = 2 и, следовательно, x 6  - 2 x 3  - 1 = 0, и этот последний многочлен не имеет рациональных корней (единственными кандидатами для проверки являются ± 1, и  x 0 , будучи больше 1, не является ни одним из них), поэтому  x 0 является иррациональное алгебраическое число. а я {\ displaystyle a_ {i}} а п ≠ 0 {\ displaystyle a_ {n} \ neq 0} Икс 0 {\ displaystyle x_ {0}} п {\ displaystyle p}

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем комбинирования трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3 π  + 2, π  +  √ 2 и e √ 3 иррациональны (и даже трансцендентны).

Десятичные разложения

Десятичное разложение иррационального числа никогда не повторяется и не заканчивается (последнее эквивалентно повторяющимся нулям), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных , восьмеричных или шестнадцатеричных расширений и в целом для расширений во всех позиционных обозначениях с естественным основанием.

Чтобы показать это, предположим, что мы делим целые числа n на m (где m ненулевое). Когда деление в столбик применяется к делению n на m , возможны только m остатков. Если 0 появляется как остаток, десятичное раскрытие завершается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить не более m - 1 шагов без использования остатка более одного раза. После этого должен повториться остаток, а затем повторяется десятичное разложение.

И наоборот, предположим, что мы сталкиваемся с повторяющимся десятичным числом , мы можем доказать, что это дробная часть двух целых чисел. Например, рассмотрим:

А знак равно 0,7 162 162 162 … {\ Displaystyle А = 0,7 \, 162 \, 162 \, 162 \, \ ldots}

Здесь повторяется 162, а длина повторения равна 3. Сначала мы умножаем на соответствующую степень 10, чтобы переместить десятичную запятую вправо так, чтобы она находилась прямо перед повторением. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

10 А знак равно 7,162 162 162 … {\ Displaystyle 10A = 7,162 \, 162 \, 162 \, \ ldots}

Теперь мы умножаем это уравнение на 10 r, где r - длина повтора. Это приводит к перемещению десятичной точки перед «следующим» повторением. В нашем примере умножаем на 10 3 :

10 , 000 А знак равно 7 162,162 162 … {\ Displaystyle 10,000A = 7 \, 162,162 \, 162 \, \ ldots}

Результат двух умножений дает два разных выражения с точно такой же «десятичной частью», то есть конец 10 000 A в точности совпадает с концом 10 A. Здесь и 10 000 A, и 10 A имеют 0,162 162 162 ... после десятичной точки.

Следовательно, когда мы вычитаем уравнение 10 А из уравнения 10000 А , хвостовая часть 10 А отменяет хвостовую часть 10 000 А, оставляя нам:

9990 А знак равно 7155. {\ displaystyle 9990A = 7155.}

потом

А знак равно 7155 9990 {\ displaystyle A = {\ frac {7155} {9990}}}

представляет собой отношение целых чисел и, следовательно, рациональное число.

Иррациональные силы

Дов Джарден дал простое неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b , такие что a b рационально:

Рассмотрим √ 2 √ 2 ; если это рационально, то возьмем a = b = √ 2 . В противном случае возьмем a иррациональное число √ 2 √ 2 и b = √ 2 . Тогда a b = ( √ 2 √ 2 ) √ 2 = √ 2 √ 2 · √ 2 = √ 2 2 = 2, что является рациональным.

Хотя приведенные выше рассуждения не решает , между этими двумя случаями, то теорема Gelfond-Schneider показывает , что √ 2 √ 2 есть трансцендентное , следовательно , нерационально. {\ log _ {\ sqrt {2}} 3} = 3.}

База левой части иррациональна, а правая - рациональна, поэтому нужно доказать, что показатель в левой части ,, иррационален. Это потому, что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями, журнал 2 ⁡ 3 {\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3}

журнал 2 ⁡ 3 знак равно журнал 2 ⁡ 3 журнал 2 ⁡ 2 знак равно журнал 2 ⁡ 3 1 / 2 знак равно 2 журнал 2 ⁡ 3 {\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3 = {\ frac {\ log _ {2} 3} {\ log _ {2} {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {\ log _ {2} 3} {1/2}} = 2 \ log _ {2} 3}

что мы можем предположить, ради установления противоречия , равным отношению m / n натуральных чисел. Тогда, следовательно, следовательно, следовательно , что является противоречивой парой простых факторизаций и, следовательно, нарушает основную теорему арифметики (единственная простая факторизация). журнал 2 ⁡ 3 знак равно м / 2 п {\ displaystyle \ log _ {2} 3 = m / 2n} 2 журнал 2 ⁡ 3 знак равно 2 м / 2 п {\ displaystyle 2 ^ {\ log _ {2} 3} = 2 ^ {m / 2n}} 3 знак равно 2 м / 2 п {\ displaystyle 3 = 2 ^ {m / 2n}} 3 2 п знак равно 2 м {\ displaystyle 3 ^ {2n} = 2 ^ {m}}

Более сильный результат состоит в следующем: Каждое разумное число в интервале можно записать либо в виде а для некоторых иррационального числа а или п п для некоторого натурального числа п . {n} e} п > 1. {\ displaystyle n> 1.}

Набор всех иррациональных

Поскольку действительные числа образуют неисчислимое множество, из которых рациональные числа являются счетным подмножеством, дополнительный набор иррациональных чисел неисчислим.

При обычной ( евклидовой ) функции расстояния d ( x y ) = | x  -  y |, действительные числа являются метрическим пространством и, следовательно, также топологическим пространством . Ограничение функции евклидова расстояния придает иррациональным числам структуру метрического пространства. Поскольку подпространство иррациональных чисел не замкнуто, индуцированная метрика не является полной . Однако, будучи G-дельта-множеством - т. Е. Счетным пересечением открытых подмножеств - в полном метрическом пространстве, пространство иррациональных чисел полностью метризуемо : то есть на иррациональных числах существует метрика, порождающая ту же топологию, что и ограничение евклидова метрика, но относительно которой иррациональные числа полны. Это можно увидеть, не зная вышеупомянутого факта о G-дельта-множествах: расширение непрерывной дроби иррационального числа определяет гомеоморфизм из пространства иррациональных чисел в пространство всех последовательностей натуральных чисел, которое, как легко видеть, полностью метризуемо.

Кроме того, множество всех иррациональных чисел является несвязным метризуемым пространством. Фактически, иррациональные числа, снабженные топологией подпространства, имеют базис из закрытых множеств, поэтому пространство нульмерно.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Адриан-Мари Лежандр , Éléments de Géometrie , Note IV, (1802), Париж
  • Рольф Валлиссер, «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π», в « Алгебраической теории чисел и диофантовом анализе» , Франц Хальтер-Кох и Роберт Ф. Тичи, (2000), Вальтер де Грюйер

внешние ссылки

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.[1]

Свойства

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.[источник не указан 163 дня]

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,…,1,2n,1,…].{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ=1+52=[1;1,1,1,1,…].{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, а n{\displaystyle n} — натуральное число.{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены[источник не указан 1091 день].

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок[источник не указан 1091 день].

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному[5] предположению Жана Итара[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории.{2}} иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi }. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

Счётные
множества
Вещественные числа
и их расширения
Инструменты расширения
числовых систем
Иерархия чисел
−1,1,12,0,12,23,…{\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;\;0{,}12,{\frac {2}{3}},\;\ldots } Рациональные числа
−1,1,0,12,12,π,2,…{\displaystyle -1,\;1,\;\;0{,}12,{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа
−1,12,0,12,π,3i+2,eiπ/3,…{\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } Комплексные числа
1,i,j,k,2i+πj−12k,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots } Кватернионы
1,i,j,k,l,m,n,o,2−5l+π3m,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots } Октонионы
1,e1,e2,…,e15,7e2+25e7−13e15,…{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } Седенионы
Другие
числовые системы
См. также

Иррациональное число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.[1]

Свойства

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.[источник не указан 163 дня]

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью.{x}}

границ | Терапия рационального эмоционального поведения (REBT), иррациональные и рациональные убеждения и психическое здоровье спортсменов

Введение

К обеспечению спортивной психологии в спортивных организациях и со спортсменами можно подходить разными способами. В настоящее время преобладают когнитивно-поведенческие подходы, в которых образы, разговор с самим собой, расслабление, концентрация и постановка целей (известные как `` Канон '') оказались особенно эффективными в помощи спортсменам в улучшении и поддержании спортивных результатов (Андерсен, 2009 г.).Но когнитивно-поведенческий подход к спортивной психологии не только ориентирован исключительно на результативность, но и может восстанавливать, поддерживать и поддерживать психическое здоровье. Действительно, многие считают, что спортивная психология - это гораздо больше, чем просто обучение психологическим навыкам (PST), признавая ту роль, которую спортивная психология может сыграть в психическом здоровье спортсменов. Кроме того, многие признают важность рассмотрения спортсменов в первую очередь людей, а во вторую - спортсменов, тем самым укрепляя гуманистический подход к помощи спортсменам с саморазрушающимися эмоциями и поведением как внутри, так и за пределами их спорта.Это не означает, что спортивные психологи должны «лечить» спортсменов от психических заболеваний; с этической точки зрения это выходит за рамки профессиональной компетенции и профессиональных обязанностей многих практиков. Однако при условии, что практикующий врач обучен и компетентен в использовании подходов к консультированию, можно работать со спортсменами на основе глубоко укоренившихся взглядов и убеждений, которые положительно влияют не только на спортивные результаты, но и на психическое здоровье.

Один из гуманистических когнитивно-поведенческих подходов, которому все больше внимания уделяется в спортивной литературе, - это терапия рационального эмоционального поведения (REBT; Ellis, 1957).Многие ученые считают REBT оригинальной когнитивно-поведенческой терапией (CBT), разработанной доктором Альбертом Эллисом в 1950-х годах и отчасти вызванной желанием Эллиса разработать более эффективную психотерапию, направленную на решение некоторых проблем. недостатки психоанализа (Froggatt, 2005). REBT, вдохновленный в первую очередь философами-стоиками, считает, что не события напрямую вызывают эмоции и поведение. Скорее, это представления о событиях, которые приводят к эмоциональной и поведенческой реактивности.Это общая когнитивно-поведенческая философия, разделяемая различными подходами. REBT помещает эту центральную идею или философию в структуру ABC, где событие представлено буквой A (активизирующее событие или неблагоприятное воздействие), убеждения отмечены буквой B, и, наконец, эмоции и поведение представлены буквой C (последствия). Эта основа ABC не только является научно обоснованной при рассмотрении роли когнитивной оценки в генерации эмоций (David et al., 2002), но также облегчает терапию, поскольку представляет собой несложный и запоминающийся способ для клиентов понять суть предшествующие их эмоции и поведение.В частности, это позволяет клиентам понять, что не внешние события (A) вызывают их дисфункциональные реакции (C), а их иррациональные убеждения (B), и, таким образом, они контролируют свою реакцию на невзгоды, потому что они могут иметь независимость от своих убеждений.

Теоретики и практики (например, Ellis, 1994; David and McMahon, 2001) утверждают, что рациональные и иррациональные убеждения являются типами «горячего» познания (Abelson and Rosenberg, 1958) или оценочного познания (David et al., 2005b). Холодные познания описывают, как человек развивает представления о ситуациях, тогда как горячие познания относятся к оценке холодных познаний или оценок (Дэвид и МакМахон, 2001; Дэвид и др., 2002). Рациональные и иррациональные убеждения также считаются «глубокими» познаниями, подобными схемам или основным убеждениям, к которым трудно получить доступ сознательно. Рациональные и иррациональные убеждения, если они действительно являются схемами, представляют собой сложные структуры, которые представляют построенные человеком концепции реальности и поведенческие реакции на эту реальность (Дэвид и др., 2005b). Таким образом, эмоции возникают в результате холодного познания, которое рассматривает ситуацию как мотивационно релевантную и мотивационно неконгруэнтную, опосредованную рациональными и иррациональными убеждениями (горячие познания). Иными словами, способность A (активирующее событие; холодное познание) вызывать C (эмоциональную и поведенческую реакцию) зависит от B (рациональные и иррациональные убеждения; горячее познание). Следовательно, философия ABC, лежащая в основе теоретического и терапевтического подхода REBT, служит для руководства лечением и улавливания механизмов, управляющих эмоциональной реакцией.

Терапия рационального эмоционального поведения отличается от других когнитивно-поведенческих подходов тем, что в ее основе лежат иррациональные и рациональные убеждения. В REBT рациональные убеждения определяются как убеждения, которые являются гибкими, неэкстремальными и логичными (т. Е. Совместимыми с реальностью), и, напротив, иррациональные убеждения являются жесткими, экстремальными и нелогичными (т. Е. Несовместимыми с реальностью). В частности, есть четыре типа рациональных и иррациональных убеждений. Рациональные убеждения включают первичное убеждение (предпочтения) и три вторичных убеждения (анти-ужас, высокая терпимость к разочарованию; HFT и принятие себя / других).В спорте убеждения о предпочтениях могут отражать убеждение, что «я хочу добиться успеха, но это не значит, что я должен им быть». Анти-ужасное убеждение может заключаться в том, что «если я не добьюсь успеха, это будет плохо, но не ужасно». Пример HFT: «отказ - это сложно, но не невыносимо». Вера в себя может быть такой: «когда я терплю поражение, это плохо, но не означает, что я полный неудачник», тогда как принятие других может отражать убеждение, что «когда ко мне плохо относятся, это плохо, но не докажите, что они плохие люди.«Иррациональные убеждения включают первичное убеждение (требовательность) и три вторичных убеждения (ужасающее, низкая терпимость к фрустрации; LFT и самооценка / самоуничижение). В спорте убеждения требовательности могут отражать убеждение, что «я хочу добиться успеха и поэтому должен». Ужасное убеждение может заключаться в том, что «если я не добьюсь успеха, будет ужасно». Пример LFT: «проиграть невыносимо». Вера в самоуничижение может быть такой: «когда я терплю поражение, это означает, что я полный неудачник», тогда как обесценивание других может отражать убеждение, что «когда ко мне плохо относятся ко мне, это доказывает, что они плохие люди.”

В REBT предлагается бинарная модель дистресса, в соответствии с которой здоровые отрицательные эмоции (HNE), связанные с адаптивным поведением, происходят из рациональных убеждений, а нездоровые отрицательные эмоции (UNE), связанные с неадаптивным поведением, происходят из иррациональных убеждений. НЯ связаны с очень неприятными физическими симптомами (хроническими и тяжелыми) и обычно мотивируют поведение, которое препятствует достижению цели. Напротив, HNE способствуют достижению цели, поскольку они связаны с некоторыми неприятными физическими симптомами (острыми и легкими) и мотивируют поведение, которое способствует достижению цели.HNE и UNE не обязательно различаются по интенсивности эмоции, скорее, они качественно различны. Другими словами, дело не в том, что нездоровая тревога менее интенсивна, чем здоровая тревога, или что это всего лишь две версии одних и тех же эмоций. Правильнее рассматривать их как разные эмоции в целом, поскольку они управляют разным поведением (или склонностями к действию). Эта бинарная модель дистресса (Дэвид и др., 2005a) соответствует исследованиям, показывающим, что отрицательные эмоции не всегда являются дисфункциональными и могут быть адаптивными (например,г., Кашдан, Бисвас-Динер, 2014).

Неудивительно, что центральной целью REBT является сокращение иррациональных убеждений в пользу рациональных убеждений, поощрение сокращения UNE и увеличения HNEs (Ellis and Dryden, 1997). Это делается с использованием процесса систематического диспута (D), в ходе которого практикующий помогает клиенту оспаривать определенные иррациональные убеждения (Драйден, 2009). Клиента просят подумать, есть ли какие-либо доказательства его веры, логично ли она или согласуется с реальностью, а также является ли эта вера прагматичной или полезной.После того, как иррациональное убеждение было оспорено, в соответствии с теорией и в сотрудничестве между клиентом и практикующим строится рациональное альтернативное убеждение, шаг, обозначенный E (эффективное новое убеждение). В зависимости от мотивации клиента, REBT может быть завершен всего за пять сеансов для четко определенных вопросов, но для более сложных вопросов рекомендуется более долгосрочный REBT (Digiuseppe et al., 2014). Однако более длительный REBT (в минутах) считается более эффективным и оказывает большее влияние на результаты лечения (Lyons and Woods, 1991; Gonzalez et al., 2004). Точные процессы использования REBT у спортсменов можно найти в сохранившейся литературе (Ellis and Dryden, 1997; Turner and Barker, 2014), но эффективность процесса ABCDE и, в более широком смысле, REBT была подтверждена в сотнях научных статей. (David et al., 2005b) как в клинических, так и в неклинических группах населения, молодежи и взрослых (David and Avellino, 2002), а также с помощью трех метаанализов (Lyons and Woods, 1991; Engels et al., 1993; Gonzalez et al. др., 2004). Практикующие, желающие этично применять REBT в своей практике, должны приобрести профессиональные навыки, пройдя признанный и официальный курс REBT, а также поддерживать свои знания и навыки через группы поддержки со стороны сверстников.Поскольку исследований, посвященных использованию REBT у спортсменов, мало, метаанализ, проведенный с участием не спортсменов, дает приемлемое, но не веское обоснование использования REBT для популяций спортсменов. Однако спортивная литература начала сообщать об использовании REBT среди спортсменов.

REBT и иррациональные убеждения в спорте

Одним из преимуществ практики и изучения спортивной психологии является знакомство с широким спектром психологических подходов, многие из которых основаны на когнитивно-поведенческих подходах.Как уже упоминалось, «Канон» (Андерсен, 2009) включает когнитивно-поведенческие методы, которые эффективно помогают спортсменам подходить к тренировкам и тренировочным ситуациям и управлять ими, помогая им контролировать когнитивные способности, эмоции и поведение. Как практикующий REBT может использовать Canon и REBT вместе друг с другом, при этом REBT также пропагандирует такие методы, как изображения в рамках своей структуры. Однако автор считает, что REBT особенно полезен для доступа, оспаривания и изменения более глубоко укоренившихся убеждений и философий, чем методы, включенные в Канон.Например, после REBT спортсмены с рациональными убеждениями по-прежнему испытывают тревогу (здоровую тревогу) по поводу соревнований, и Canon предлагает полезные стратегии для уменьшения таких симптомов, как размышления и истощающее возбуждение. Но некоторым спортсменам требуется более глубокая работа, чтобы противодействовать основным иррациональным убеждениям, которые вызывают нездоровые эмоции и поведение, которые можно более эффективно лечить с помощью REBT.

Также важно признать, что REBT пропагандирует гуманистическую философию, которую автор интерпретирует в спорте как «прежде всего человек, а затем спортсмен».'REBT гуманистичен и поэтому фокусируется на человеке, а не только на спортсмене, а также не только на его выступлениях. Таким образом, REBT применим для решения широкого круга проблем спортсменов, помимо проблем с производительностью, таких как изменение карьеры, проблемы личной жизни и расстройства пищевого поведения. Целью REBT является улучшение и поддержание эмоциональной и поведенческой функциональности, что затем способствует достижению долгосрочной цели. В контексте спорта, где результат часто является наиболее важным фактором, а быстрое решение проблемы заманчиво, о психическом здоровье спортсмена иногда забывают.Важно признать, что REBT - это также профилактический подход, который может укрепить рациональные убеждения и психическое здоровье, а не только решение проблемы иррациональных убеждений и психических заболеваний. REBT выступает за изменение жизненной философии спортсмена, чтобы человек мог столкнуться со многими спортивными и жизненными ситуациями с рациональными убеждениями и соответствующими функциональными познаниями, эмоциями и поведением. Это также помогает спортсменам управлять эмоциями после того, как они прошли соответствующую подготовку для самостоятельного и компетентного использования REBT.Спорт и многие другие контексты производительности могут быть слишком реактивными на проблемы, что может привести к тому, что предоставление спортивной психологии будет рассматриваться как средство правовой защиты, а не как основная часть поддержки спортсмена. Тем не менее, развитие спортивной психологии помогло практикующим интегрировать хорошо зарекомендовавшие себя, а также новаторские подходы в свою практику, что в случае REBT отражено в недавнем внимании, которое ему уделяется в литературе по спортивной психологии.

Рациональная эмоционально-поведенческая терапия может проводиться в ситуациях с ограниченным временем и ограниченным доступом, типичными для некоторых спортивных сред.Таким образом, методы оказания помощи, типичные для REBT, такие как групповая терапия, образование и индивидуальные консультации, хорошо вписываются в рамки спортивной психологии. Возможно, многие практикующие спортивные психологи используют REBT в своей практике, но в современной литературе есть немногочисленные примеры использования REBT для спортсменов. Писания, касающиеся использования REBT в спорте, были сосредоточены на размышлениях о тематических исследованиях (например, Marlow, 2009) и дизайне отдельных случаев (например, Turner and Barker, 2013). Например, Бернард (1985) дает очень подробное описание своей работы по применению рационально-эмоциональной программы тренировок с игроками Австралийского футбола по правилам.Программа, проводимая в группе, включала обучение REBT, а также более широкие темы, такие как тренировка концентрации и постановка целей. Бернард (1985) сообщает, что спортсмены лучше контролировали свои мысли, чтобы напрямую влиять на результаты. Тем не менее, маркеры производительности не были получены, и контрольная группа не присутствовала, поскольку эта работа не была исследовательским исследованием, из-за чего невозможно определить степень влияния программы на фактическую производительность. Похожий подход был использован Марлоу (2009), который применил REBT с молодежным боулером с десятью кеглями, опять же в рамках широкой программы психологических навыков, сообщая о положительных эффектах производительности наряду с адаптивными изменениями поведения.

Помимо рефлексивных подходов к тематическому исследованию, было проведено несколько исследований, посвященных изменениям соответствующих зависимых переменных посредством применения REBT. Elko и Ostrow (1991) применили REBT с шестью гимнастками и обнаружили снижение тревожности у пяти и улучшение результатов у трех участников. Отсутствие прироста результатов у трех гимнасток вполне возможно приписать косвенным событиям, но может указывать на то, что продвижение рациональных убеждений не обязательно улучшает спортивные результаты.В другом исследовании было проведено пять занятий REBT на основе лекций для молодых игроков в мягкий теннис, и результаты показали, что когнитивная тревога была значительно снижена (Yamauchi and Murakoshi, 2001). Однако это исследование написано на японском языке, не было переведено, и поэтому автор не смог разобрать точные детали исследования. В одном исследовании изучалась эффективность REBT для управления направлением признаков и состояния тревожности, а также производительности боулинга с десятью кеглями по сравнению с вмешательством с использованием изображений и расслабления и вмешательством плацебо (Larner et al., 2007). Как это типично для REBT, вмешательство было сосредоточено на изменении интерпретаций участниками соревновательных обстоятельств, познаний, поведения и чувств путем оспаривания основных убеждений. Вмешательство расслабления и воображения включало репетицию альтернативных физиологических и психических состояний во время соревнований, а вмешательство плацебо делало упор на общее внимание и рефлексивное консультирование. Вмешательство REBT уменьшило иррациональное мышление значительно больше, чем вмешательства сравнения, чего и следовало ожидать.Тем не менее, REBT также значительно смягчил негативные направленные интерпретации симптомов тревоги и состояния и улучшил производительность в большей степени, чем вмешательства сравнения. Другое исследование было сфокусировано на конкретной иррациональной вере в LFT (Si and Lee, 2008) и применило REBT и тренировку умственных навыков у олимпийского спортсмена по настольному теннису. Используя оценку тренеров и товарищей по команде и видеоанализ, результаты показали уменьшение поведения, связанного с LFT, и повышение производительности на соревнованиях.

Появилось более позднее исследование, в котором для оценки эффективности REBT у спортсменов были приняты индивидуальные схемы. В исследовании Тернера и Баркера (2013) четыре элитных юных игрока в крикет прошли три индивидуальные консультации REBT по поводу их беспокойства по поводу выступления. Результаты показали значительное снижение иррациональных убеждений и когнитивной тревожности при применении REBT, но объективные показатели эффективности не были собраны, и поэтому влияние REBT на производительность не было доказано.Два дальнейших исследования (Turner et al., 2014, 2015) показали, что учебные занятия REBT смогли значительно снизить иррациональные убеждения у элитных футболистов. Однако, когда обучение REBT применялось в одном сеансе, снижение иррациональных убеждений было кратковременным, возвращаясь к исходным уровням в последующий момент времени (Turner et al., 2014). В то время как обучение REBT, проводимое на трех занятиях, привело к долгосрочному сокращению иррациональных убеждений, поддерживая идею о том, что REBT - это не быстрое решение.Опять же, хотя в обоих исследованиях субъективно спортсмены чувствовали, что REBT помог им улучшить эмоциональный контроль и производительность, никаких объективных маркеров производительности не искалось. Совсем недавно (Каннингем и Тернер, 2016) REBT использовался с тремя полупрофессиональными спортсменами смешанных единоборств на индивидуальной основе, чтобы уменьшить иррациональные убеждения, в частности самоуничижение, и повысить безусловное самопринятие. Результаты показали, что двое из трех спортсменов сообщили о снижении самооценки, и все трое продемонстрировали рост безусловного принятия себя (США).Кроме того, в подробном тематическом исследовании REBT применялся к лучнику на уровне страны на протяжении семи занятий (Wood et al., 2016), демонстрируя уменьшение иррациональных убеждений и увеличение рациональных убеждений, самоэффективности, воспринимаемого контроля и объективные оценки конкурентоспособности.

Движение вперед

Как видно из краткого обзора литературы, посвященной REBT в спорте, исследования скудны, что не позволяет сделать убедительные выводы относительно эффективности REBT в спорте.Кроме того, существующие исследования сосредоточены на применении REBT со спортсменами в полевых условиях, а не на проверке и подтверждении теоретических сторонников REBT в спортивных условиях или со спортсменами. Количество эмпирических исследовательских работ и размышлений практиков в литературе по спорту и REBT растет, но большинство статей сосредоточено на том, как применение REBT снижает иррациональные убеждения у спортсменов с использованием данных социальной проверки для изучения более широких изменений в эмоциональной и поведенческой сферах. уровень.Поскольку исследования в спорте находятся в зачаточном состоянии, есть ряд областей, в которых следует направить дальнейшие исследования. В этой статье автор представляет три ключевые области, в которые следует вложить дальнейшие исследования, чтобы продвинуть понимание иррациональных и рациональных убеждений и REBT в спорте.

Во-первых, следует более полно исследовать влияние иррациональных и рациональных убеждений и REBT на психическое здоровье спортсменов. Хотя дошедшие до нас спортивные исследования сообщают об изменениях в иррациональных и рациональных убеждениях и эмоциональных последствиях (например,g., беспокойство; Turner and Barker, 2013), исследования еще предстоит изучить влияние иррациональных убеждений и рациональных убеждений на более общие результаты психического здоровья спортсменов. Во-вторых, учитывая, что спорт - это отрасль, ориентированная на результативность, влияние иррациональных и рациональных убеждений и REBT на результаты должно быть более полно проверено эмпирически. В то время как существующие исследования обеспечивают растущую поддержку применимости REBT для спортивных результатов (например, Wood et al., 2016), результаты работы не были тщательно изучены, и поэтому влияние REBT на производительность в настоящее время неизвестно.Кроме того, не были должным образом исследованы потенциальные механизмы воздействия на спортивные результаты, обусловленные иррациональными и рациональными убеждениями. В-третьих, следует изучить вопрос о развитии иррациональных убеждений у спортсменов, чтобы получить ясную картину того, как и когда возникают иррациональные убеждения у спортсменов. Это может открыть дверь для раннего развития рациональных убеждений, чтобы избежать проблем с психическим здоровьем, проистекающих из иррациональных убеждений, по мере продвижения спортсмена в своей карьере. В этой статье по очереди подробно рассматривается каждая из этих трех областей.

Влияние иррациональных убеждений и рациональных убеждений на психическое здоровье

Рациональная эмоционально-поведенческая терапия не была основана на литературе по перформансам, и, как и многие другие когнитивно-поведенческие подходы, REBT была принята спортивными психологами и психологами по упражнениям для использования в настройках производительности. Истоки REBT лежат в клинических психотерапевтических условиях, где главной целью является психическое здоровье. Таким образом, большинство существующих исследований изучают последствия для психического здоровья и указывают на то, что иррациональные убеждения приводят к широкому спектру эмоциональных и поведенческих результатов, которые подрывают психическое здоровье, и связаны с ними.В этом разделе данной статьи автор представляет обзор литературы, в которой иррациональные убеждения рассматриваются как фактор риска психических заболеваний, а рациональные убеждения - как защитные факторы психических заболеваний. Учитывая недостаток исследований, посвященных изучению иррациональных и рациональных убеждений и психического здоровья спортсменов, цель данной статьи состоит в том, чтобы подробно описать способы, которыми иррациональные и рациональные убеждения связаны с широким спектром проблем психического здоровья, которые явно могут повлиять на спортсмена на протяжении всей его карьеры.Требуется более глубокое понимание того, как иррациональные и рациональные убеждения способствуют возникновению психических заболеваний, с целью предложения того, как будущие исследования могут начать понимать эту проблему в спорте. Хотя спортсмены не были в центре этого исследования, многие результаты, связанные с иррациональными убеждениями и вытекающие из них, могут явно препятствовать краткосрочным и долгосрочным спортивным достижениям и влиять на психическое здоровье спортсменов. Чтобы представить REBT как потенциально эффективный подход к укреплению психического здоровья спортсменов, в первую очередь важно рассмотреть более широкие доказательства, связывающие иррациональные и рациональные убеждения с психическим здоровьем.

Общие иррациональные убеждения

Огромное количество исследований было посвящено изучению ассоциаций иррациональных убеждений в целом и ассоциаций четырех основных иррациональных убеждений. Объединив эту обширную базу литературы, можно оценить обширное влияние иррациональных убеждений на ряд нездоровых эмоциональных и поведенческих результатов. Теоретическая структура отношения

Иррациональное число - Microtonal Encyclopedia

[[Файл: константа PI.svg | thumb | 240px | Математическая константа [[pi | Template: Pi]] - это иррациональное число, широко распространенное в популярной культуре.]]

Число √2 иррационально.

В математике иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными числами, причем последние являются числами, составленными из соотношений (или дробей) целых чисел. Когда отношение длин двух сегментов линии является иррациональным числом, сегменты линии также описываются как несоизмеримых , что означает, что у них нет общей «меры», то есть длины («меры») , независимо от того, насколько коротким, это можно было бы использовать для выражения длин обоих из двух данных сегментов как целых кратных самой себе.

Среди иррациональных чисел - отношение [[Pi | Template: Pi]] длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e, золотое сечение φ и квадратный корень из двух; [1] [2] [3] на самом деле все квадратные корни из натуральных чисел, кроме полных квадратов, иррациональны.

Можно показать, что иррациональные числа, выраженные в позиционной системе счисления (например, в виде десятичных чисел или с любым другим естественным основанием), не заканчиваются и не повторяются, т.е.е., не содержат подпоследовательности цифр, повторение которой составляет хвост представления. Например, десятичное представление числа [[pi | Template: Pi]] начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представлять [[pi | Template: Pi]] и не повторяется. Доказательство того, что десятичное разложение рационального числа должно завершаться или повторяться, отличается от доказательства того, что десятичное разложение, которое завершается или повторяется, должно быть рациональным числом, и хотя оба доказательства элементарны и не длинны, они требуют некоторой работы.Математики обычно не считают «завершение или повторение» определением концепции рационального числа.

Иррациональные числа также можно обрабатывать с помощью непрерывных непрерывных дробей.

Как следствие доказательства Кантора, что действительные числа неисчислимы, а рациональные - счетные, следует, что почти все действительные числа иррациональны. [4]

Набор действительных чисел (R), который включает рациональные числа (Q), которые включают целые числа (Z), которые включают натуральные числа (N).Действительные числа также включают иррациональные числа (R \ Q).

Древняя Греция [править | править источник]

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу (возможно, Гиппасу из Метапонта), [5] , который, вероятно, открыл их, определяя стороны пентаграммы. [6] Тогдашний метод Пифагора должен был утверждать, что должна быть некоторая достаточно маленькая неделимая единица, которая могла бы равномерно вписаться в одну из этих длин, а также в другую.Однако Гиппас в V веке до нашей эры смог сделать вывод, что на самом деле не существовало общей единицы измерения, и что утверждение о таком существовании на самом деле было противоречием. Он сделал это, продемонстрировав, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника действительно соизмерима с катетом, то одна из этих длин, измеренная в этой единице измерения, должна быть как нечетной, так и четной, что невозможно. Его рассуждения таковы:

  • Начните с равнобедренного прямоугольного треугольника с длинами сторон целых чисел a , b и c .Отношение гипотенузы к катету представлено как c : b .
  • Предположим, что a , b и c выражены в минимально возможных терминах (, т.е. , у них нет общих множителей).
  • По теореме Пифагора: c 2 = a 2 + b 2 = b 2 + b 2 = 2 b 2 . (Поскольку треугольник равнобедренный, a = b ).
  • Так как c 2 = 2 b 2 , c 2 делится на 2 и, следовательно, даже.
  • Поскольку c 2 четное, c должно быть четным.
  • Поскольку c четное, деление c на 2 дает целое число. Пусть это целое число y ( c = 2 y ).
  • Возведение в квадрат обеих сторон c = 2 y дает c 2 = (2 y ) 2 или c 2 = 4 y 2 .
  • Подстановка 4 y 2 вместо c 2 в первом уравнении ( c 2 = 2 b 2 ) дает нам 4 y 2 = 2 b 2 .
  • Разделив на 2, получаем 2 y 2 = b 2 .
  • Поскольку y является целым числом, а 2 y 2 = b 2 , b 2 делится на 2 и, следовательно, даже.
  • Поскольку b 2 четное, b должно быть четным.
  • Мы только что показали, что и b , и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий множитель 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих множителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть одновременно целыми числами, и, следовательно, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. [7]

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин alogos , или невыразимым.Гиппаса, однако, не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими товарищами-пифагорейцами, «… за то, что создал элемент во вселенной, который отрицал… доктрину о том, что все явления во Вселенной можно свести к целым числам и их отношениям ». [8] Другая легенда гласит, что Гиппас был просто изгнан за это откровение. Какими бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие представляло собой очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку оно разрушило предположение о неразрывности числа и геометрии - основу их теории.

Открытие несоизмеримых соотношений указывало на другую проблему, с которой столкнулись греки: отношение дискретного к непрерывному. Вынесено на свет Зеноном Элейским, который поставил под сомнение концепцию, согласно которой количества дискретны и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Древние греческие концепции предписывали, что они обязательно должны быть такими, поскольку «целые числа представляют собой дискретные объекты, а соизмеримое соотношение представляет собой отношение между двумя совокупностями дискретных объектов. [9] Однако Зенон обнаружил, что на самом деле «[количества] в целом не являются дискретным набором единиц; вот почему появляются отношения несоизмеримых [величин] ... Другими словами, [количества] непрерывны ». [9] Это означает, что вопреки популярной концепции времени не может быть неделимой, наименьшей единицы измерения для любой величины. Фактически, эти количественные деления обязательно должны быть бесконечными. Например, рассмотрим линейный сегмент: этот сегмент можно разделить пополам, половину - пополам, половину - пополам и так далее.Этот процесс может продолжаться бесконечно, потому что всегда остается разделить другую половину. Чем чаще сегмент делится вдвое, тем ближе единица измерения к нулю, но никогда не достигает точного нуля. Именно это и пытался доказать Зенон. Он попытался доказать это, сформулировав четыре парадокса, демонстрирующих противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно продемонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы.В представлении греков опровержение справедливости одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому требовалось дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским, который формализовал новую теорию пропорций, которая учитывала соизмеримые, а также несоизмеримые величины. Центральным в его идее было различие между величиной и числом. Величина «... не была числом, а обозначала такие объекты, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли изменяться, как мы бы сказали, непрерывно.Величины были противопоставлены числам, которые прыгали от одного значения к другому, от 4 до 5. " [10] Числа состоят из некоторой наименьшей неделимой единицы, а величины бесконечно уменьшаются. Поскольку никакие количественные значения не были присвоены величине, Евдокс смог учесть как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определив соотношение в терминах его величины и пропорции как равенство между двумя отношениями. Убрав количественные значения (числа) из уравнения, он избежал ловушки, связанной с необходимостью выражать иррациональное число в виде числа.«Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, предоставив необходимую логическую основу для несоизмеримых соотношений». [11] Эта несоизмеримость рассматривается в «Элементах» Евклида, книга X, предложение 9.

В результате различия между числом и величиной, геометрия стала единственным методом, который мог учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие числовые основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческий акцент сместился с таких числовых концепций, как алгебра, и сосредоточился почти исключительно на геометрии.Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить, почему мы все еще представляем x 2 или x 3 как x в квадрате и x в кубе вместо x второй степени и x третьей степени. Также критически важным для работы Зенона с несоизмеримыми величинами был фундаментальный акцент на дедуктивном мышлении, который явился результатом фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторые основные концепции существующей теории расходятся с реальностью, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории.Исходя из этой необходимости, Евдокс разработал свой метод исчерпания, своего рода reductio ad absurdum, который «… установил дедуктивную организацию на основе явных аксиом…», а также «… укрепил ранее принятое решение полагаться на дедуктивное рассуждение для доказательства. ” [12] Этот метод исчерпания является первым шагом в создании исчисления.

Теодор из Кирены доказал иррациональность использования целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому, что алгебру, которую он использовал, нельзя было применить к квадратному корню из 17. [13]

Только после того, как Евдокс разработал теорию пропорций, которая учитывала иррациональные, а также рациональные отношения, была создана прочная математическая основа иррациональных чисел. [14]

Индия [править | править источник]

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были решены очень рано, в ведический период в Индии. Ссылки на такие вычисления есть в Самхитах , Брахманах и Шульба Сутрах (800 г. до н.э. или ранее).(См. Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с 7 века до нашей эры, когда Манава (ок. 750 - 690 до н.э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, нельзя точно определить. [15] Однако историк Карл Бенджамин Бойер пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и вряд ли будут правдой». [16]

Также предполагается, что Арьябхата (V век нашей эры) при вычислении значения числа пи до 5 значащих цифр использовал слово асанна (приближение), чтобы обозначить, что это не только приближение, но и ценность несоизмерима (или иррациональна).

Позже в своих трактатах индийские математики писали об арифметике сурдов, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней. (См. Датта, Сингх, Индийский журнал истории науки, 28 (3), 1993.)

Математики, такие как Брахмагупта (в 628 году нашей эры) и Бхаскара I (в 629 году нашей эры), внесли свой вклад в эту область, как и другие математики, которые последовали за ней. В 12 веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и критиковал их, выявляя их ограничения.

В течение 14-16 веков Мадхава Сангамаграма и керальская школа астрономии и математики открыли бесконечный ряд для нескольких иррациональных чисел, таких как π , и некоторых иррациональных значений тригонометрических функций. Джйешхадева представил доказательства этой бесконечной серии в Yuktibhāā . [17]

Средневековье [править | править источник]

В средние века развитие алгебры мусульманскими математиками позволило рассматривать иррациональные числа как алгебраических объектов . [18] Математики Ближнего Востока также объединили концепции «числа» и «величины» в более общую идею действительных чисел, критиковали евклидовую идею соотношений, разработали теорию сложных соотношений и расширили понятие числа до соотношений. непрерывной величины. [19] В своем комментарии к Книге 10 Элементов персидский математик Аль-Махани (ум. 874/884) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа и кубические иррациональные числа. Он дал определения рациональных и иррациональных величин, которые он рассматривал как иррациональные числа.Он имел дело с ними свободно, но объяснял их геометрическими терминами следующим образом: [20]

«Это будет рациональным (величина), когда мы, например, скажем 10, 12, 3%, 6% и т. Д., Потому что его значение выражено и выражено количественно. То, что нерационально, является иррациональным, и это невозможно произносить и представлять его значение количественно. Например: корни чисел, такие как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, не являющиеся кубами и т. д. "

В отличие от евклидова концепции величин как линий, Аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными величинами.Он также представил арифметический подход к концепции иррациональности, поскольку приписывает иррациональным величинам следующее: [20]

«их суммы или разности, или результаты их прибавления к рациональной величине, или результаты вычитания такой величины из иррациональной, или рациональной величины из нее».

Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850 - 930) был первым, кто принял иррациональные числа в качестве решений квадратных уравнений или коэффициентов в уравнении, часто в форме квадратных корней, корней куба и корня четвертой степени. [21] В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические доказательства) для иррациональных чисел, поскольку он рассматривал умножение, деление и другие арифметические функции. [22] Иранский математик Абу Джафар аль-Хазин (900–971) дает определение рациональных и иррациональных величин, заявляя, что, если определенная величина равна: [23]

"содержится в определенной заданной величине один или несколько раз, тогда эта (заданная) величина соответствует рациональному числу.. . . Каждый раз, когда эта (последняя) величина составляет половину, треть или четверть данной величины (единицы) или, по сравнению с (единицей), составляет три, пять или три пятых, это рациональная величина. И, в общем, каждая величина, которая соответствует этой величине (, т.е. за единицу), как одно число другому, является рациональной. Если, однако, величина не может быть представлена ​​как кратное, часть (l / n ) или части ( m / n ) данной величины, это иррационально, i.е. не может быть выражено иначе, как с помощью корней ».

Многие из этих концепций были в конечном итоге приняты европейскими математиками через некоторое время после латинских переводов XII века. Аль-Хассар, марокканский математик из Феса, специализирующийся на исламской юриспруденции наследования в XII веке, впервые упоминает использование дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем обсуждении он пишет: «… например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятой, напишите так: 3153 {\ displaystyle \ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3 }}." [24] Это же дробное представление появляется вскоре после в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке. [25]

Современный период [править | править источник]

В 17 веке мнимые числа стали мощным инструментом в руках Авраама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера. Завершение теории комплексных чисел в XIX веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные числа, доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научных исследований теории иррациональных чисел, которые в значительной степени игнорировались со времен Евклида.В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученик Эрнст Коссак), Эдуарда Гейне ( Crelle's Journal , 74), Георга Кантора (Аннален, 5) и Ричарда Дедекинда. В 1869 году Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле в 1880 году, [26] , а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря своей теории. более поздняя работа автора (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.).Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее разреза (Шнитта) в системе всех рациональных чисел, разделяя их на две группы, обладающие определенными характеристическими свойствами. Позднее в эту тему внесли вклад Вейерштрасс, Леопольд Кронекер (Crelle, 101) и Шарль Мере.

Непрерывные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (благодаря Катальди, 1613 г.), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века получили известность благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа.Дирихле также внес свой вклад в общую теорию, как и многие участники, внесшие вклад в приложения этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761), что π не может быть рациональным и что e n иррационально, если n рационально (если только n = 0). [27] Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки подтверждают его как удовлетворительное, и на самом деле для своего времени оно необычайно строгое. Адриан-Мари Лежандр (1794), после введения функции Бесселя – Клиффорда, представил доказательство, показывающее, что π 2 иррационально, откуда сразу следует, что π также иррационально.Существование трансцендентных чисел было впервые установлено Лиувиллем (1844, 1851). Позже Георг Кантор (1873) доказал их существование другим методом, который показал, что каждый интервал в вещественных числах содержит трансцендентные числа. Чарльз Эрмит (1873) первым доказал трансцендентность e , а Фердинанд фон Линдеманн (1882), исходя из выводов Эрмита, показал то же самое для π. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), еще дальше - Дэвидом Гильбертом (1893 г.) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу [ цитата требуется ] и Полю Гордану. [28]

Квадратные корни [править | править источник]

Квадратный корень из 2 был первым числом, которое оказалось иррациональным, и эта статья содержит ряд доказательств. Золотое сечение - еще одна известная квадратичная иррациональность, и в ее статье есть простое доказательство его иррациональности. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются полными квадратами, иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах.

Общие корни [править | править источник]

Приведенное выше доказательство для квадратного корня из двух можно обобщить, используя основную теорему арифметики.Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную факторизацию на простые числа. Используя его, мы можем показать, что если рациональное число не является целым числом, то его целая степень не может быть целым числом, так как в младших членах в знаменателе должно быть простое число, которое не делится на числитель независимо от степени, в которую каждое число возводится в . Следовательно, если целое число не является точной степенью k th другого целого числа, то его корень k th иррационален.

Логарифмы [править | править источник]

Возможно, числа, которые легче всего доказать иррациональными, - это определенные логарифмы.n.}

Однако число 2, возведенное в любую положительную целую степень, должно быть четным (потому что оно делится на 2), а число 3, возведенное в любую положительную целочисленную степень, должно быть нечетным (поскольку ни один из его простых множителей не будет 2). Ясно, что целое число не может быть одновременно четным и нечетным: приходим к противоречию. Единственное предположение, которое мы сделали, заключалось в том, что log 2 3 является рациональным (и поэтому выражается как частное целых чисел m / n с n ≠ 0).Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т.е. log 2 3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n с n ≠ 0.

Такие случаи, как log 10 2, можно рассматривать аналогично. {n-1} + \ cdots + a_1x + a_0 = 0 \ ;,}

, где коэффициенты ai {\ displaystyle a_i} являются целыми числами и ≠ 0 {\ displaystyle a_n \ ne 0}.Любой рациональный корень этого полиномиального уравнения должен иметь вид r / s , где r является делителем a 0 и s является делителем a n . Если действительный корень x0 {\ displaystyle x_0} многочлена p {\ displaystyle p} не входит в число этих конечных возможностей, это должно быть иррациональное алгебраическое число. Примерное доказательство существования таких алгебраических иррациональных чисел состоит в том, чтобы показать, что x 0 = (2 1/2 + 1) 1/3 является иррациональным корнем многочлена с целыми коэффициентами: он удовлетворяет ( x 3 - 1) 2 = 2 и, следовательно, x 6 - 2 x 3 - 1 = 0, и этот последний многочлен не имеет рациональных корней (единственными кандидатами для проверки являются ± 1, а x 0 , больше 1, не является ни одним из них), поэтому x 0 - иррациональное алгебраическое число.

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем комбинирования трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3Template: Pi + 2, Template: Pi + √2 и e √3 иррациональны (и даже трансцендентны).

Десятичное расширение иррационального числа никогда не повторяется и не заканчивается (последнее эквивалентно повторяющимся нулям), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных, восьмеричных или шестнадцатеричных расширений и в целом для расширений во всех позиционных обозначениях с естественным основанием.

Чтобы показать это, предположим, что мы делим целые числа n на m (где m ненулевое значение). Когда длинное деление применяется к делению n на m , возможны только остатки m . Если 0 появляется как остаток, десятичное раскрытие завершается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить не более м - 1 шагов без использования остатка более одного раза. После этого должен повториться остаток, а затем повторяется десятичное разложение.

И наоборот, предположим, что мы сталкиваемся с повторяющимся десятичным числом, мы можем доказать, что это дробная часть двух целых чисел. Например, рассмотрим:

A = 0,7162162162 ⋯. {\ Displaystyle A = 0,7 \, 162 \, 162 \, 162 \, \ cdots.}

Здесь повторяется 162, а длина повторения равна 3. Сначала мы умножаем на подходящая степень 10, чтобы переместить десятичную запятую вправо так, чтобы она находилась прямо перед повторением. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

10А = 7.162162162 ⋯. {\ Displaystyle 10A = 7.162 \, 162 \, 162 \, \ cdots.}

Теперь мы умножаем это уравнение на 10 r , где r - длина повтора. Это приводит к перемещению десятичной точки перед «следующим» повторением. В нашем примере умножаем на 10 3 :

10,000A = 7162.162162 ⋯. {\ Displaystyle 10,000A = 7 \, 162.162 \, 162 \, \ cdots.}

Результат двух умножений дает два разных выражения с точно такой же «десятичной частью», что То есть, хвостовая часть 10 000 A точно соответствует хвостовой части 10 A .Здесь и 10,000 A , и 10 A имеют 0,162162162 ... в конце.

Следовательно, когда мы вычитаем уравнение 10 A из уравнения 10 000 A , хвостовая часть 10 A компенсирует хвостовую часть 10 000 A , оставляя нас:

9990A = 7155. {\ Displaystyle 9990A = 7155.}

Тогда

A = 71559990, {\ displaystyle A = \ frac {7155} {9990},}

- это отношение целых чисел и, следовательно, рациональное число, необходимое для доказательства.

Дов Джарден дал простое неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b , таких что a b является рациональным: [29]

Рассмотрим √2 √2 ; если это рационально, то возьмем a = b = √2. В противном случае возьмите a в качестве иррационального числа √2 √2 и b = √2. Тогда a b = (√2 √2 ) √2 = √2 √2 · √2 = √2 2 = 2, что является рациональным.

Хотя приведенный выше аргумент не делает выбор между двумя случаями, теорема Гельфонда – Шнайдера показывает, что √2 √2 трансцендентно, а значит иррационально. Эта теорема утверждает, что если a и b являются алгебраическими числами, а a не равно 0 или 1, а b не является рациональным числом, то любое значение a b - трансцендентное число (может быть более одного значения, если используется возведение в степень комплексного числа).{\ log _ {\ sqrt {2}} 3} = 3.}

База левой части иррациональна, а правая - рациональна, поэтому нужно доказать, что показатель в левой части log2⁡3 { \ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3} иррационально. Это потому, что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями,

log2⁡3 = log2⁡3log2⁡2 = log2⁡31 / 2 = 2log2⁡3 {\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} 3 = \ frac {\ log_2 3} {\ log_2 \ sqrt {2} } = \ frac {\ log_2 3} {1/2} = 2 \ log_2 3}

, которое, как мы можем предположить, ради установления противоречия, равно отношению положительных целых чисел m / n .{m / 2n}} отсюда 32n

Рациональная эмоциональная поведенческая терапия: принципы, методы, эффективность

Что такое рациональная эмоциональная терапия?

Рациональная эмоциональная поведенческая терапия (REBT) - это вид терапии, введенный Альбертом Эллисом в 1950-х годах. Это подход, который помогает вам определить иррациональные убеждения и негативные стереотипы мышления, которые могут привести к эмоциональным или поведенческим проблемам.

Как только вы определили эти шаблоны, терапевт поможет вам разработать стратегии, чтобы заменить их более рациональными образцами мышления.

REBT может быть особенно полезным для людей, живущих с различными проблемами, включая:

  • депрессию
  • тревожность
  • аддиктивное поведение
  • фобии
  • подавляющее чувство гнева, вины или ярости
  • прокрастинация
  • расстройство питания привычки
  • агрессия
  • проблемы со сном

Прочтите, чтобы узнать больше о REBT, включая его основные принципы и эффективность.

REBT основан на идее, что люди обычно хотят преуспевать в жизни.Например, вы, вероятно, хотите достичь своих целей и обрести счастье. Но иногда мешают иррациональные мысли и чувства. Эти убеждения могут влиять на то, как вы воспринимаете обстоятельства и события - обычно не в лучшую сторону.

Представьте, что вы написали сообщение тому, с кем встречались в течение месяца. Вы видите, что они прочитали сообщение, но проходит несколько часов без ответа. На следующий день они так и не ответили. Вы можете начать думать, что они игнорируют вас, потому что не хотят вас видеть.

Вы также можете сказать себе, что сделали что-то не так, когда видели их в последний раз, а затем можете сказать себе, что отношения никогда не складываются и что вы будете одиноки до конца своей жизни.

Вот как этот пример иллюстрирует основные принципы, называемые ABC, REBT:

  • относится к (a) инициирующему событию или ситуации, которая вызывает негативную реакцию или ответ. В этом примере A означает отсутствие ответа.
  • B относится к (b) элифам или иррациональным мыслям, которые могут у вас возникнуть о событии или ситуации.Буква B в этом примере - это убеждение, что они больше не хотят вас видеть или что вы сделали что-то не так и что вы будете одиноки до конца своей жизни.
  • C относится к последствиям (c) , часто к печальным эмоциям, которые возникают в результате иррациональных мыслей или убеждений. В этом примере это может включать в себя чувство никчемности или недостаточной квалификации.

В этом сценарии REBT сосредоточится на том, чтобы помочь вам переосмыслить ваше мнение о том, почему человек не ответил.Может быть, они были заняты или просто забыли ответить. Или, может быть, они не заинтересованы в новой встрече с вами; Если так, это не означает, что с вами что-то не так или что вы проведете остаток своей жизни в одиночестве.

REBT использует три основных типа техники, которые соответствуют азбуке. Каждый терапевт может использовать несколько разную комбинацию техник в зависимости от своего прошлого клинического опыта и ваших симптомов.

Методы решения проблем

Эти стратегии могут помочь устранить активирующее событие (A).

Они часто включают в себя работу по развитию:

  • навыков решения проблем
  • напористости
  • социальных навыков
  • навыков принятия решений
  • навыков разрешения конфликтов

когнитивных методов реструктуризации

Эти стратегии помогают вам изменить иррациональные убеждения (В).

Они могут включать:

  • логические или рационализирующие техники
  • управляемые образы и визуализация
  • рефрейминг или взгляд на события по-другому
  • юмор и ирония
  • столкновение с опасной ситуацией
  • обсуждение иррациональных мыслей

Методы преодоления

Методы преодоления могут помочь вам лучше справиться с эмоциональными последствиями (В) иррациональных мыслей.

Эти методы преодоления могут включать:

  • релаксация
  • гипноз
  • медитация

Независимо от того, какие техники они используют, ваш терапевт, вероятно, также даст вам некоторую работу самостоятельно между сессиями. Это дает вам возможность применить навыки, полученные на сеансе, к своей повседневной лжи. Например, они могут попросить вас записать, что вы чувствуете после того, как испытали что-то, что обычно вызывает у вас тревогу, и подумайте о том, как ваша реакция заставила вас чувствовать.

Между экспертами ведутся споры о связи между REBT и когнитивно-поведенческой терапией (CBT). Некоторые рассматривают REBT как разновидность REBT, в то время как другие утверждают, что это два очень разных подхода.

Хотя CBT и REBT основаны на схожих принципах, у них есть несколько ключевых отличий. Оба подхода работают, чтобы помочь вам принять и изменить иррациональные мысли, вызывающие страдание. Но REBT уделяет немного больше внимания части принятия.

Создатель REBT называет этот элемент обращения безусловным самопринятием.Это включает в себя попытку избежать самооценки и признание того, что люди, включая вас, могут и будут совершать ошибки.

REBT также уникален, потому что иногда юмор используется как терапевтический инструмент, чтобы помочь вам относиться к вещам менее серьезно или по-другому смотреть на вещи. Это могут быть мультфильмы, юмористические песни или ирония.

REBT также обращает внимание на вторичные симптомы, такие как беспокойство по поводу беспокойства или чувство депрессии из-за депрессии.

РЭПТ - общепризнанный эффективный вид терапии.Обзор 84 опубликованных статей о REBT за 2017 год показал, что это действенное лечение, которое может помочь при обсессивно-компульсивном расстройстве, социальной тревоге, депрессии и разрушительном поведении. Но в обзоре указывается на необходимость проведения большего количества рандомизированных исследований, чтобы понять, как REBT может помочь в лечении более широкого спектра состояний.

В небольшом исследовании 2016 года изучались преимущества регулярных сеансов REBT с социальным работником при длительной депрессии. Через год участники стали реже посещать своего лечащего врача.Также уменьшилось использование рецептурных лекарств. Исследование 2014 года также показало, что REBT может быть эффективным средством лечения депрессии у молодых девушек.

Имейте в виду, что люди по-разному реагируют на все виды терапии. То, что работает для одного человека, может не сработать для вас.

Найти терапевта может быть непростой задачей. Чтобы упростить процесс, начните с того, что отметьте конкретные вещи, которые вы хотели бы решить в ходе терапии. Есть ли у терапевта какие-то особые черты характера? Вы предпочитаете мужчину или женщину?

Это также может помочь определить, сколько вы реально можете потратить за сеанс.Некоторые терапевты могут не брать страховку, но многие предлагают услуги по скользящей шкале или недорогие варианты. Это обычный разговор терапевта с потенциальным клиентом, поэтому не стесняйтесь спрашивать о стоимости. Узнайте больше о поиске доступной терапии.

Если вы живете в Соединенных Штатах, вы можете найти психологов в вашем районе здесь. Обращаясь к потенциальным терапевтам, дайте им краткое представление о том, чего вы хотите добиться от терапии, и спросите, есть ли у них опыт работы с REBT.Если они звучат многообещающе, назначьте встречу.

Не расстраивайтесь, если во время первого сеанса вы обнаружите, что они не подходят. Некоторым людям нужно обратиться к нескольким терапевтам, прежде чем они найдут подходящего.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *